4350. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: $|x+1| + |x-1| = 4$

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutnu vrednost izraza $x+1 :$

|x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{za } x \ge -1 \\ -(x+1), & \text{za } x < -1 \end{cases}

Zatim definišemo apsolutnu vrednost izraza $x-1 :$

|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{za } x \ge 1 \\ -(x-1), & \text{za } x < 1 \end{cases}

x \in (-\infty, -1)

x \in [-1, 1)

x \in [1, +\infty)

x+1

-

+

+

x-1

-

-

+

Razmatramo prvi slučaj kada je $x < -1 :$

-(x+1) - (x-1) = 4 \\ -x - 1 - x + 1 = 4 \\ -2x = 4 \\ x = -2

Proveravamo da li rešenje $x = -2$ pripada intervalu $(-\infty, -1) .$ Kako je $-2 < -1 ,$ ovo je validno rešenje.

x_1 = -2

Razmatramo drugi slučaj kada je $-1 \le x < 1 :$

(x+1) - (x-1) = 4 \\ x + 1 - x + 1 = 4 \\ 2 = 4

Jednačina $2 = 4$ nema rešenja, pa u ovom intervalu nema vrednosti $x$ koje zadovoljavaju polaznu jednačinu.

x \in \emptyset

Razmatramo treći slučaj kada je $x \ge 1 :$

(x+1) + (x-1) = 4 \\ x + 1 + x - 1 = 4 \\ 2x = 4 \\ x = 2

Proveravamo da li rešenje $x = 2$ pripada intervalu $[1, +\infty) .$ Kako je $2 \ge 1 ,$ ovo je validno rešenje.

x_2 = 2

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{-2, 2\}

681.g