4351.

680.i

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po x x u zavisnosti od realnog parametra m: m :

m2(1−mx)=4(1+2x)m^2(1-mx) = 4(1+2x)
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo srediti jednačinu tako da sve članove sa nepoznatom x x prebacimo na jednu stranu, a slobodne članove na drugu. Razvijamo zagrade:

m2−m3x=4+8xm^2 - m^3x = 4 + 8x

Prebacujemo članove sa x x na levu stranu, a ostale na desnu:

−m3x−8x=4−m2-m^3x - 8x = 4 - m^2

Množimo celu jednačinu sa −1 -1 radi lakšeg rada i izdvajamo x x ispred zagrade:

x(m3+8)=m2−4x(m^3 + 8) = m^2 - 4

Primenjujemo formule za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) i razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b): a^2-b^2 = (a-b)(a+b) :

x(m+2)(m2−2m+4)=(m−2)(m+2)x(m+2)(m^2 - 2m + 4) = (m-2)(m+2)

Sada analiziramo slučajeve u zavisnosti od vrednosti parametra m. m . Prvi slučaj je kada je koeficijent uz x x jednak nuli. Kako je m2−2m+4 m^2 - 2m + 4 uvek pozitivno (diskriminanta D=4−16=−12<0 D = 4 - 16 = -12 < 0 ), jedina mogućnost je m+2=0: m + 2 = 0 :

m=−2m = -2

Zamenom m=−2 m = -2 u jednačinu dobijamo:

x⋅0⋅(4+4+4)=(−4)⋅0  ⟹  0=0x \cdot 0 \cdot (4 + 4 + 4) = (-4) \cdot 0 \implies 0 = 0

U ovom slučaju, jednačina je identitet, što znači da je svako realno x x rešenje:

x∈Rx \in \mathbb{R}

Drugi slučaj je kada je koeficijent uz x x različit od nule, odnosno m≠−2: m \neq -2 :

x=(m−2)(m+2)(m+2)(m2−2m+4)x = \frac{(m-2)(m+2)}{(m+2)(m^2 - 2m + 4)}

Skraćivanjem izraza sa m+2 m+2 dobijamo jedinstveno rešenje:

x=m−2m2−2m+4x = \frac{m-2}{m^2 - 2m + 4}

Konačna diskusija rešenja:

{m=−2  ⟹  x∈Rm≠−2  ⟹  x=m−2m2−2m+4\begin{cases} m = -2 \implies x \in \mathbb{R} \\ m \neq -2 \implies x = \frac{m-2}{m^2 - 2m + 4} \end{cases}