4349.

681.đ

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: ∣x+4∣−∣x−3∣=x |x+4| - |x-3| = x

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutne vrednosti koje se pojavljuju u jednačini:

∣x+4∣={x+4,za x+4≥0  ⟹  x≥−4−(x+4),za x+4<0  ⟹  x<−4|x+4| = \begin{cases} x+4, & \text{za } x+4 \ge 0 \implies x \ge -4 \\ -(x+4), & \text{za } x+4 < 0 \implies x < -4 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

∣x−3∣={x−3,za x−3≥0  ⟹  x≥3−(x−3),za x−3<0  ⟹  x<3|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{za } x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 \\ -(x-3), & \text{za } x-3 < 0 \implies x < 3 \end{cases}
x∈(−∞,−4)x \in (-\infty, -4)
x∈[−4,3)x \in [-4, 3)
x∈[3,+∞)x \in [3, +\infty)
x+4x+4
− -
+ +
+ +
x−3x-3
− -
− -
+ +

Razmatramo prvi slučaj kada je x<−4: x < -4 :

−(x+4)−(−(x−3))=x−x−4+x−3=x−7=x-(x+4) - (-(x-3)) = x \\ -x - 4 + x - 3 = x \\ -7 = x

Proveravamo da li rešenje x=−7 x = -7 pripada intervalu (−∞,−4). (-\infty, -4) . Kako je −7<−4, -7 < -4 , ovo je validno rešenje.

x1=−7x_1 = -7

Razmatramo drugi slučaj kada je −4≤x<3: -4 \le x < 3 :

(x+4)−(−(x−3))=xx+4+x−3=x2x+1=xx=−1(x+4) - (-(x-3)) = x \\ x + 4 + x - 3 = x \\ 2x + 1 = x \\ x = -1

Proveravamo da li rešenje x=−1 x = -1 pripada intervalu [−4,3). [-4, 3) . Kako je −4≤−1<3, -4 \le -1 < 3 , ovo je validno rešenje.

x2=−1x_2 = -1

Razmatramo treći slučaj kada je x≥3: x \ge 3 :

(x+4)−(x−3)=xx+4−x+3=x7=x(x+4) - (x-3) = x \\ x + 4 - x + 3 = x \\ 7 = x

Proveravamo da li rešenje x=7 x = 7 pripada intervalu [3,+∞). [3, +\infty) . Kako je 7≥3, 7 \ge 3 , ovo je validno rešenje.

x3=7x_3 = 7

Konačan skup rešenja jednačine je:

x∈{−7,−1,7}x \in \{-7, -1, 7\}