4385. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu po nepoznatoj $x$ u zavisnosti od realnih parametara $a$ i $b :$

(3a - x)(a - b) + 2ax = 4b(a + x)

REŠENJE ZADATKA

Oslobađamo se zagrada množenjem članova na obe strane jednačine.

3a^2 - 3ab - ax + bx + 2ax = 4ab + 4bx

Grupišemo sve članove koji sadrže nepoznatu $x$ na levu stranu, a preostale članove na desnu stranu.

-ax + bx + 2ax - 4bx = 4ab - 3a^2 + 3ab

Sređujemo obe strane jednačine sabiranjem sličnih monoma.

ax - 3bx = 7ab - 3a^2

Izvlačimo zajednički činilac $x$ na levoj strani, a zajednički činilac $a$ na desnoj strani.

x(a - 3b) = a(7b - 3a)

Sada analiziramo rešenja u zavisnosti od vrednosti izraza uz nepoznatu $x .$ Prvi slučaj je kada je $a - 3b \neq 0 ,$ odnosno $a \neq 3b .$ Tada jednačina ima jedinstveno rešenje.

x = \frac{a(7b - 3a)}{a - 3b}, \quad \text{za } a \neq 3b

Drugi slučaj je kada je $a - 3b = 0 ,$ odnosno $a = 3b .$ Zamenjujemo $a = 3b$ u jednačinu $x(a - 3b) = a(7b - 3a) .$

x \cdot 0 = 3b(7b - 3 \cdot 3b)

Sređujemo dobijeni izraz na desnoj strani.

0 = 3b(7b - 9b) \implies 0 = 3b(-2b) \implies 0 = -6b^2

Analiziramo dobijenu jednakost $0 = -6b^2 .$ Ako je $b = 0$ (tada je i $a = 0$ ), jednačina postaje $0 = 0 ,$ što znači da svaki realan broj $x$ jeste rešenje.

x \in \mathbb{R}, \quad \text{za } a = 0 \text{ i } b = 0

Ako je $b \neq 0$ (uz uslov $a = 3b$ ), dobijamo nemoguću jednakost jer je $-6b^2 \neq 0 ,$ pa jednačina nema rešenja.

x \in \emptyset, \quad \text{za } a = 3b \text{ i } b \neq 0

689.b