4337. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: $\frac{1}{2x-18} - \frac{x}{x^2-81} = \frac{5}{4x+36}$

REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo imenioce na činioce kako bismo odredili domen i najmanji zajednički sadržalac.

2x-18 = 2(x-9) \\ x^2-81 = (x-9)(x+9) \\ 4x+36 = 4(x+9)

Određujemo domen jednačine. Imenioci ne smeju biti nula.

x-9 \neq 0 \implies x \neq 9 \\ x+9 \neq 0 \implies x \neq -9 \\ D = \mathbb{R} \setminus \{-9, 9\}

Zapisujemo jednačinu sa rastavljenim imeniocima.

\frac{1}{2(x-9)} - \frac{x}{(x-9)(x+9)} = \frac{5}{4(x+9)}

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem $4(x-9)(x+9)$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

2(x+9) - 4x = 5(x-9)

Sređujemo levu i desnu stranu jednačine.

2x + 18 - 4x = 5x - 45 \\ -2x + 18 = 5x - 45

Prebacujemo nepoznate na jednu stranu, a poznate na drugu.

-2x - 5x = -45 - 18 \\ -7x = -63

Računamo vrednost nepoznate $x .$

x = \frac{-63}{-7} \\ x = 9

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada domenu. Pošto je uslov $x \neq 9 ,$ dobijena vrednost nije rešenje.

x = 9 \notin D

Zaključujemo da jednačina nema rešenja.

x \in \emptyset

677.v