4345. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: $\frac{2x+19}{5x^2-5} - \frac{17}{x^2-1} - \frac{3}{1-x} = 0$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti imenioce na činioce kako bismo odredili domen i zajednički imenilac. Koristimo razliku kvadrata $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ i izvlačenje zajedničkog ispred zagrade.

5x^2 - 5 = 5(x^2 - 1) = 5(x-1)(x+1) \\ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \\ 1-x = -(x-1)

Definišemo domen jednačine. Imenioci ne smeju biti nula.

x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 \\ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 \\ D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

Sređujemo znake u jednačini i zamenjujemo rastavljene oblike. Primetimo da je $-\frac{3}{1-x} = +\frac{3}{x-1} .$

\frac{2x+19}{5(x-1)(x+1)} - \frac{17}{(x-1)(x+1)} + \frac{3}{x-1} = 0

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem $5(x-1)(x+1)$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

(2x+19) - 17 \cdot 5 + 3 \cdot 5(x+1) = 0

Sređujemo dobijeni linearni izraz.

2x + 19 - 85 + 15(x+1) = 0 \\ 2x - 66 + 15x + 15 = 0 \\ 17x - 51 = 0

Rešavamo linearnu jednačinu po $x .$

17x = 51 \\ x = \frac{51}{17} \\ x = 3

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je $3 \in D ,$ rešenje je validno.

x = 3

676.a