4334. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: $\frac{20x+9}{2x+1} - \frac{24x^2+5}{4x^2-1} = \frac{40}{10x-5} + 4$

REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo imenioce na činioce kako bismo odredili domen jednačine i zajednički imenilac.

4x^2-1 = (2x-1)(2x+1) \\ 10x-5 = 5(2x-1)

Određujemo domen jednačine. Imenioci ne smeju biti nula.

2x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2} \\ 2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} \\ D = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\}

Sređujemo jednačinu koristeći rastavljene imenioce.

\frac{20x+9}{2x+1} - \frac{24x^2+5}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{40}{5(2x-1)} + 4

Skraćujemo razlomak na desnoj strani pre množenja zajedničkim imeniocem.

\frac{20x+9}{2x+1} - \frac{24x^2+5}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{8}{2x-1} + 4

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem $(2x-1)(2x+1) .$

(20x+9)(2x-1) - (24x^2+5) = 8(2x+1) + 4(2x-1)(2x+1)

Oslobađamo se zagrada množenjem binoma i sređivanjem izraza.

(40x^2 - 20x + 18x - 9) - 24x^2 - 5 = 16x + 8 + 4(4x^2 - 1) \\ 40x^2 - 2x - 14 - 24x^2 = 16x + 8 + 16x^2 - 4

Sređujemo levu i desnu stranu jednačine.

16x^2 - 2x - 14 = 16x^2 + 16x + 4

Poništavamo kvadratne članove i prebacujemo nepoznate na jednu stranu.

-2x - 16x = 4 + 14 \\ -18x = 18

Računamo vrednost nepoznate $x .$

x = \frac{18}{-18} \\ x = -1

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je $-1 \neq \pm \frac{1}{2} ,$ rešenje je validno.

x = -1

675.g