4336. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu:

\frac{x}{x+2} - \frac{5}{x+3} = \frac{10x}{x^2+5x+6} + rac{2}{x+2} + \frac{x}{x+3} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti kvadratni trinom u imeniocu na desnoj strani jednačine. Primetimo da je $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) .$

x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)

Definišemo domen jednačine. Imenioci ne smeju biti nula, pa imamo uslove:

x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 \\ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3

Sredimo jednačinu tako što ćemo sve članove prebaciti na levu stranu i grupisati one sa istim imeniocima radi lakšeg računanja.

\frac{x}{x+2} - \frac{2}{x+2} - \frac{5}{x+3} - \frac{x}{x+3} - \frac{10x}{(x+2)(x+3)} = 0

Saberemo razlomke sa istim imeniocima:

\frac{x-2}{x+2} - \frac{5+x}{x+3} - \frac{10x}{(x+2)(x+3)} = 0

Svedemo sve na zajednički imenilac $(x+2)(x+3) :$

\frac{(x-2)(x+3) - (x+5)(x+2) - 10x}{(x+2)(x+3)} = 0

Oslobodimo se razlomka (uz uslove domena) i sredimo brojilac:

(x^2 + 3x - 2x - 6) - (x^2 + 2x + 5x + 10) - 10x = 0

Uprošćavamo izraz:

x^2 + x - 6 - (x^2 + 7x + 10) - 10x = 0 \\ x^2 + x - 6 - x^2 - 7x - 10 - 10x = 0

Sređivanjem dobijamo linearnu jednačinu:

-16x - 16 = 0

Rešavamo po $x :$

-16x = 16 \\ x = -1

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je $-1 \neq -2$ i $-1 \neq -3 ,$ rešenje je validno.

x = -1

675.d