4338. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: $\frac{6x^2+9}{3x^2-x} - 2 = \frac{3}{x} - \frac{3}{3x-1}$

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Imenitelji ne smeju biti nula. Rastavljamo prvi imenitelj na činioce: $3x^2 - x = x(3x - 1) .$ Uslovi su:

x \neq 0 \quad \text{i} \quad 3x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}

Domen jednačine je:

D = \mathbb{R} \setminus \{0, \frac{1}{3}\}

Sređujemo levu stranu jednačine tako što ćemo broj 2 napisati kao razlomak sa zajedničkim imeniteljem $x(3x-1) :$

\frac{6x^2+9 - 2(3x^2-x)}{x(3x-1)} = \frac{3}{x} - \frac{3}{3x-1}

Uprošćavamo brojilac na levoj strani:

\frac{6x^2+9 - 6x^2 + 2x}{x(3x-1)} = \frac{3(3x-1) - 3x}{x(3x-1)}

Sređujemo obe strane jednačine:

\frac{2x+9}{x(3x-1)} = \frac{9x-3-3x}{x(3x-1)}

Pošto su imenitelji isti i različiti od nule (prema domenu), izjednačavamo brojioci:

2x + 9 = 6x - 3

Prebacujemo nepoznate na jednu stranu, a poznate na drugu i računamo vrednost $x :$

9 + 3 = 6x - 2x \implies 12 = 4x \implies x = 3

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Kako je $3 \in D ,$ rešenje je validno.

x = 3

675.v