4338.

675.v

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: 6x2+93x2−x−2=3x−33x−1 \frac{6x^2+9}{3x^2-x} - 2 = \frac{3}{x} - \frac{3}{3x-1}

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Imenitelji ne smeju biti nula. Rastavljamo prvi imenitelj na činioce: 3x2−x=x(3x−1). 3x^2 - x = x(3x - 1) . Uslovi su:

x≠0i3x−1≠0  ⟹  x≠13x \neq 0 \quad \text{i} \quad 3x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}

Domen jednačine je:

D=R∖{0,13}D = \mathbb{R} \setminus \{0, \frac{1}{3}\}

Sređujemo levu stranu jednačine tako što ćemo broj 2 napisati kao razlomak sa zajedničkim imeniteljem x(3x−1): x(3x-1) :

6x2+9−2(3x2−x)x(3x−1)=3x−33x−1\frac{6x^2+9 - 2(3x^2-x)}{x(3x-1)} = \frac{3}{x} - \frac{3}{3x-1}

Uprošćavamo brojilac na levoj strani:

6x2+9−6x2+2xx(3x−1)=3(3x−1)−3xx(3x−1)\frac{6x^2+9 - 6x^2 + 2x}{x(3x-1)} = \frac{3(3x-1) - 3x}{x(3x-1)}

Sređujemo obe strane jednačine:

2x+9x(3x−1)=9x−3−3xx(3x−1)\frac{2x+9}{x(3x-1)} = \frac{9x-3-3x}{x(3x-1)}

Pošto su imenitelji isti i različiti od nule (prema domenu), izjednačavamo brojioci:

2x+9=6x−32x + 9 = 6x - 3

Prebacujemo nepoznate na jednu stranu, a poznate na drugu i računamo vrednost x: x :

9+3=6x−2x  ⟹  12=4x  ⟹  x=39 + 3 = 6x - 2x \implies 12 = 4x \implies x = 3

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Kako je 3∈D, 3 \in D , rešenje je validno.

x=3x = 3