4341. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: $\frac{x-4}{x+4} + \frac{x+5}{x-5} = \frac{2x(x+5)}{x^2-x-20}$

REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo faktorizaciju imenioca na desnoj strani jednačine. Kvadratni trinom $x^2-x-20$ možemo napisati kao proizvod linearnih činilaca.

x^2-x-20 = (x-5)(x+4)

Definišemo oblast definisanosti jednačine. Imenioci ne smeju biti nula.

x+4 \neq 0 \implies x \neq -4 \\ x-5 \neq 0 \implies x \neq 5

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem $(x+4)(x-5)$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

(x-4)(x-5) + (x+5)(x+4) = 2x(x+5)

Sređujemo izraze množenjem zagrada.

(x^2 - 5x - 4x + 20) + (x^2 + 4x + 5x + 20) = 2x^2 + 10x

Sabiramo slične članove na levoj strani.

2x^2 + 40 = 2x^2 + 10x

Oduzimamo $2x^2$ sa obe strane i rešavamo po $x .$

40 = 10x \\ x = \frac{40}{10} \\ x = 4

Proveravamo da li rešenje pripada oblasti definisanosti. Pošto je $4 \neq -4$ i $4 \neq 5 ,$ rešenje je prihvatljivo.

x = 4

677.g