4342. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: $\frac{1}{x+2} - \frac{x-2}{x^2-2x+4} = \frac{2}{x^3+8}$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti imenilac na desnoj strani jednačine koristeći formulu za zbir kubova: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) .$

x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)

Određujemo definisanost jednačine. Imenioci ne smeju biti nula. Izraz $x^2 - 2x + 4$ nema realnih nula jer je diskriminanta $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0 ,$ pa je uvek pozitivan.

x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2

Sada jednačinu možemo zapisati u sledećem obliku:

\frac{1}{x+2} - \frac{x-2}{x^2-2x+4} = \frac{2}{(x+2)(x^2-2x+4)}

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem $(x+2)(x^2-2x+4)$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

1 \cdot (x^2 - 2x + 4) - (x-2)(x+2) = 2

Sređujemo izraz koristeći formulu za razliku kvadrata $(x-2)(x+2) = x^2 - 4 .$

x^2 - 2x + 4 - (x^2 - 4) = 2

Oslobađamo se zagrade i računamo dalje.

x^2 - 2x + 4 - x^2 + 4 = 2

Potiranjem $x^2$ i $-x^2$ dobijamo linearnu jednačinu.

-2x + 8 = 2

Prebacujemo poznate na jednu stranu i računamo vrednost nepoznate.

-2x = 2 - 8 \\ -2x = -6 \\ x = 3

Proveravamo da li rešenje zadovoljava uslov definisanosti $x \neq -2 .$ Pošto je $3 \neq -2 ,$ rešenje je validno.

x = 3

677.d