Racionalna jednačina sa trinomom 4x na 2 u brojiocu

Prvo ćemo rastaviti kvadratni trinom $4x^2+16x+7$ na činioce. Rešavamo kvadratnu jednačinu $4x^2+16x+7=0$ koristeći formulu za nule:

x_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7}}{2 \cdot 4} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 112}}{8} = \frac{-16 \pm 12}{8}

Dobijamo nule $x_1 = -\frac{1}{2}$ i $x_2 = -\frac{7}{2} .$ Na osnovu toga, trinom možemo zapisati kao:

4x^2+16x+7 = 4(x + \frac{1}{2})(x + \frac{7}{2}) = 2(x + \frac{1}{2}) \cdot 2(x + \frac{7}{2}) = (2x+1)(2x+7)

Sada postavljamo uslove definisanosti jednačine (imenilac ne sme biti nula):

2x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2} \quad \text{i} \quad 2x+7 \neq 0 \implies x \neq -\frac{7}{2}

Zamenjujemo rastavljeni oblik u početnu jednačinu:

\frac{4x^2-2}{(2x+1)(2x+7)} + \frac{3+2x}{1+2x} - \frac{5+2x}{7+2x} - 1 = 0

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem $(2x+1)(2x+7) :$

(4x^2-2) + (3+2x)(2x+7) - (5+2x)(2x+1) - (2x+1)(2x+7) = 0

Sređujemo izraze množenjem zagrada:

(4x^2-2) + (6x+21+4x^2+14x) - (10x+5+4x^2+2x) - (4x^2+14x+2x+7) = 0

Oslobađamo se zagrada i grupišemo članove:

4x^2 - 2 + 4x^2 + 20x + 21 - (4x^2 + 12x + 5) - (4x^2 + 16x + 7) = 0

Nastavljamo sa sređivanjem:

8x^2 + 20x + 19 - 4x^2 - 12x - 5 - 4x^2 - 16x - 7 = 0

Sabiramo slične članove:

(8x^2 - 4x^2 - 4x^2) + (20x - 12x - 16x) + (19 - 5 - 7) = 0

Dobijamo linearnu jednačinu:

-8x + 7 = 0

Rešavamo po $x :$

-8x = -7 \implies x = \frac{7}{8}

Proveravamo da li rešenje zadovoljava uslove definisanosti. Pošto je $\frac{7}{8} \neq -\frac{1}{2}$ i $\frac{7}{8} \neq -\frac{7}{2} ,$ rešenje je validno.

x = \frac{7}{8}

Započni učenje

Privatni časovi

676.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci