4330. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\frac{1}{\frac{x+5}{3} - \frac{x-5}{4}} + \frac{2}{x+5} = -\frac{2}{3}

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo srediti dvojni razlomak u prvom sabirku. Najpre računamo razliku u imeniocu:

\frac{x+5}{3} - \frac{x-5}{4} = \frac{4(x+5) - 3(x-5)}{12} = \frac{4x + 20 - 3x + 15}{12} = \frac{x + 35}{12}

Sada zamenjujemo dobijeni izraz nazad u jednačinu:

\frac{1}{\frac{x+35}{12}} + \frac{2}{x+5} = -\frac{2}{3}

Sređujemo prvi sabirak kao recipročnu vrednost:

\frac{12}{x+35} + \frac{2}{x+5} = -\frac{2}{3}

Pre nego što nastavimo, definišemo uslove pod kojima jednačina ima smisla (imenitelji ne smeju biti nula):

x+35 \neq 0 \implies x \neq -35 \\ x+5 \neq 0 \implies x \neq -5

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržocem $3(x+35)(x+5)$ kako bismo se oslobodili razlomaka:

12 \cdot 3(x+5) + 2 \cdot 3(x+35) = -2(x+35)(x+5)

Sređujemo levu i desnu stranu jednačine:

36(x+5) + 6(x+35) = -2(x^2 + 5x + 35x + 175) \\ 36x + 180 + 6x + 210 = -2(x^2 + 40x + 175) \\ 42x + 390 = -2x^2 - 80x - 350

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

2x^2 + 42x + 80x + 390 + 350 = 0 \\ 2x^2 + 122x + 740 = 0

Delimo celu jednačinu sa 2 radi lakšeg računanja:

x^2 + 61x + 370 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-61 \pm \sqrt{61^2 - 4 \cdot 1 \cdot 370}}{2 \cdot 1} \\ x_{1,2} = \frac{-61 \pm \sqrt{3721 - 1480}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{-61 \pm \sqrt{2241}}{2}

Kako $\sqrt{2241} = \sqrt{9 \cdot 249} = 3\sqrt{249} ,$ rešenja su:

x_1 = \frac{-61 + 3\sqrt{249}}{2}, \quad x_2 = \frac{-61 - 3\sqrt{249}}{2}

Proveravamo da li rešenja zadovoljavaju početne uslove $x \neq -35$ i $x \neq -5 .$ Pošto su oba rešenja različita od ovih vrednosti, oba su prihvatljiva.

677.đ