4331. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: $\frac{15x+54}{5x+24} - 3 = \frac{3(4x-1)}{10x+4} - \frac{6x}{5x+24}$

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Imenitelji ne smeju biti nula.

5x + 24 \neq 0 \implies x \neq -\frac{24}{5} \\ 10x + 4 \neq 0 \implies 10x \neq -4 \implies x \neq -\frac{2}{5}

Prebacujemo razlomak sa desne strane koji ima isti imenitelj na levu stranu radi lakšeg računanja.

\frac{15x+54}{5x+24} + \frac{6x}{5x+24} - 3 = \frac{3(4x-1)}{2(5x+2)}

Sabiramo razlomke sa istim imeniteljem na levoj strani.

\frac{15x+54+6x}{5x+24} - 3 = \frac{3(4x-1)}{2(5x+2)} \\ \frac{21x+54}{5x+24} - 3 = \frac{12x-3}{2(5x+2)}

Sređujemo levu stranu svođenjem na zajednički imenitelj.

\frac{21x+54 - 3(5x+24)}{5x+24} = \frac{12x-3}{2(5x+2)} \\ \frac{21x+54 - 15x - 72}{5x+24} = \frac{12x-3}{2(5x+2)}

Uprošćavamo brojilac na levoj strani.

\frac{6x-18}{5x+24} = \frac{12x-3}{2(5x+2)}

Izvlačimo zajednički faktor 6 iz brojioca na levoj strani.

\frac{6(x-3)}{5x+24} = \frac{3(4x-1)}{2(5x+2)}

Delimo celu jednačinu sa 3 radi uprošćavanja.

\frac{2(x-3)}{5x+24} = \frac{4x-1}{2(5x+2)}

Množimo unakrsno kako bismo eliminisali razlomke.

2(x-3) \cdot 2(5x+2) = (4x-1)(5x+24) \\ 4(x-3)(5x+2) = (4x-1)(5x+24)

Množimo polinome na obe strane.

4(5x^2 + 2x - 15x - 6) = 20x^2 + 96x - 5x - 24 \\ 4(5x^2 - 13x - 6) = 20x^2 + 91x - 24

Oslobađamo se zagrade na levoj strani.

20x^2 - 52x - 24 = 20x^2 + 91x - 24

Poništavamo iste članove sa obe strane jednačine.

-52x = 91x \\ -52x - 91x = 0 \\ -143x = 0

Računamo vrednost nepoznate x.

x = 0

Proveravamo da li rešenje zadovoljava početne uslove. Pošto je $0 \neq -\frac{24}{5}$ i $0 \neq -\frac{2}{5} ,$ rešenje je validno.

x = 0

675.a