Jednačina sa parametrom a i imeniocima x plus minus a

Prvo određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

x \neq a \quad \text{i} \quad x \neq -a

Primetimo da je imenilac trećeg razlomka $a^2 - x^2 = -(x^2 - a^2) = -(x - a)(x + a) .$ Zamenjujemo ovo u jednačinu.

\frac{a}{x - a} - \frac{1}{x + a} - \frac{4a^2 - 4a + 2}{(x - a)(x + a)} = 0

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem $(x - a)(x + a)$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

a(x + a) - 1(x - a) - (4a^2 - 4a + 2) = 0

Oslobađamo se zagrada.

ax + a^2 - x + a - 4a^2 + 4a - 2 = 0

Grupišemo članove koji sadrže $x$ na levoj strani, a ostale prebacujemo na desnu stranu.

x(a - 1) = 3a^2 - 5a + 2

Faktorišemo kvadratni trinom na desnoj strani grupisanjem članova: $3a^2 - 5a + 2 = 3a^2 - 3a - 2a + 2 = 3a(a - 1) - 2(a - 1) = (a - 1)(3a - 2) .$

x(a - 1) = (a - 1)(3a - 2)

Analiziramo prvi slučaj: kada je $a - 1 = 0 ,$ odnosno $a = 1 .$ Zamenom u jednačinu dobijamo $x \cdot 0 = 0 ,$ što je tačno za svako realno $x .$ Međutim, zbog početnih uslova $x \neq \pm a ,$ za $a = 1$ važi $x \neq 1$ i $x \neq -1 .$

x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

Analiziramo drugi slučaj: kada je $a \neq 1 .$ Tada možemo podeliti jednačinu sa $a - 1 .$

x = 3a - 2

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava početne uslove $x \neq a$ i $x \neq -a .$ Prvi uslov $3a - 2 = a$ daje $a = 1 ,$ što je suprotno pretpostavci. Drugi uslov $3a - 2 = -a$ daje $4a = 2 ,$ odnosno $a = \frac{1}{2} .$ Ako je $a = \frac{1}{2} ,$ rešenje nije validno.

a = \frac{1}{2} \implies x \in \emptyset

Zapisujemo konačan zaključak koji obuhvata sve analizirane slučajeve.

\begin{cases} x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, & \text{za } a = 1 \\ x \in \emptyset, & \text{za } a = \frac{1}{2} \\ x = 3a - 2, & \text{za } a \in \mathbb{R} \setminus \left\{1, \frac{1}{2}\right\} \end{cases}

Započni učenje

Privatni časovi

691.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci