Geometrijski i aritmetički niz: zbir 65, srednji + 10

TEKST ZADATKA

Tri broja obrazuju geometrijski niz čiji je zbir 65. Ako se srednji član uveća za 10, niz postaje aritmetički. Odrediti taj niz.

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a_1+a_2+a_3=65

Aritmetički niz:

a_1, a_2+10, a_3

Primeniti pravilo za opšti član geometrijskog niza:

a_1(1+q+q^2)=65

Primeniti pravilo aritmetičkog niza: $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$

a_2+10=\frac{a_1+a_1q^2}{2}

Srediti izraz:

2a_1qq+20=a_1+a_1q^2

a_1(q^2-2q+1)=20\rArr a_1=\frac{20}{q^2-2q+1}

Uvrstiti dobijeni izraz za $a_1$ u početni izraz za zbir

\frac{20}{q^2-2q+1}(1+q+q^2)=65

Sređivanje izraza dobija se kvadratna jednačina $3q^2-10q+3=0$ sa rešenjima $q_1=3$ i $q_2=\frac{1}{3}$

Ako se uzme rešenje $q=3$ onda je $a_1=5, a_2=15, a_3=45$

Ako se uzme rešenje $q=\frac{1}{3}$ onda je $a_1=45, a_2=15, a_3=5$

10. Aritmetički i geometrijski niz