Aritmetički i geometrijski niz: nađi x i y

TEKST ZADATKA

Brojevi $5x-y, 2x+3y, x+2y(x, y\isin R)$ su uzastopni članovi aritmetičkog niza, a brojevi $(y+1)^2, xy+1, (x-1)^2$ su uzastopni članovi geometrijskog niza. Naći $x$ i $y.$

REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo aritmetičkog niza $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$

2x+3y=\frac{1}{2}(5x-y+x+2y)

Srediti izraz:

4x+6y=6x+y \rArr y=\frac{2}{5}x

Primeniti pravilo geometrijskog niza $a_2^2=a_1a_3$

(xy+1)^2=(y+1)^2(x-1)^2

Srediti izraz:

x^2y^2+2xy+1=(y^2+2y+1)(x^2-2x+1)

\cancel{x^2y^2}+2xy+\cancel{1}=\cancel{x^2y^2}-2xy^2+y^2+2x^2y-4xy+2y+x^2-2x+\cancel{1}

U dobijeni izraz $6xy+2xy^2-2x^2y-x^2-y^2-2y+2x=0$ uvrsiti dobijeni izraz za $y.$

6x\cdot\frac{2}{5}x+2x\cdot\frac{4}{25}x^2-2x^2\cdot\frac{2}{5}x-x^2-\frac{4}{25}x^2-\frac{4}{5}x+2x=0

Srediti izraz:

60x^2+8x^3-20x^3-25x^2-4x^2-20x+50x=0

Dobija se izraz $x(-12x^2+31x+30)=0$ sa tri rešenja:

x_1=0, x_2=-\frac{3}{4}, x_3=\frac{10}{3}

Ako je $x_1=0$ onda je $y_1=0$

Ako je $x_2=-\frac{3}{4}$ onda je $y_2=-\frac{3}{10}$

Ako je $x_3=\frac{10}{3}$ onda je $y_3=\frac{4}{3}$

Započni učenje

Online časovi

9. Aritmetički i geometrijski niz

Beleške