Aritmetički i geometrijski niz: tri broja sa zbirom 63

TEKST ZADATKA

Tri broja čiji je zbir 63 obrazuju aritmetičku progresiju. Ako od prvog oduzmemo 7, a od drugog 9, a od trećeg 5 dobijamo geometrijsku progresiju. Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a_1+a_2+a_3=63

b_1=a_1-7, b_2=a_2-9, b_3=a_3-5

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a_1+a_1+d+a_1+2d=63

3a_1+3d=63 \rArr a_1=21-d

Primeniti formulu za geometrijski niz $b_2^2=b_1b_3$

(a_2-9)^2=(a_1-7)(a_3-5)

Primeniti formulu za opšti član aritmetičkog niza:

(a_1+d-9)^2=(a_1-7)(a_1+2d-5)

Zameniti $a_1$ u izrazu:

(21-\cancel{d}+\cancel{d}-9)^2=(21-d-7)(21-d+2d-5)

Srediti izraz:

12^2=(14-d)(16+d)

144=224+14d-16d-d^2

Dobije se kvadratna jednačina:

d^2+2d-80=0

Rešenja kvadratne jednačine su $d_1=-10$ i $d_2=8$

Za rešenje se uzima samo $d_1=10$ jer je u pitanju opadajući geometrijski niz, onda je:

a_1=31, a_2=21, a_3=11

Započni učenje

Online časovi

5. Aritmetički i geometrijski niz

Beleške