Aritmetički i geometrijski niz: četiri broja

TEKST ZADATKA

Od četiri broja prva tri čine geometrijski niz, a poslednja tri aritmetički. Koja su to četri broja?

REŠENJE ZADATKA

a_1+a_4=14

a_2+a_3=12

Navesti podatke:

a_1, a_2=a_1q, a_3=a_1q^2, a_4=x

a_3=\frac{a_4+a_2}{2}

Uvrstiti podatke:

a_1q^2=\frac{x+a_1q}{2}

Srediti izraz:

x+a_1q=2a_1q^2 \rArr x=2a_1q^2 \cdot a_1q

Izraziti $a_1:$

a_1+2a_1q^2-a_1q=14 \rArr a_1=\frac{14}{1+2q^2-q}

Uvrstiti $a_1$ u jednačinu $a_1q+a_1q^2=12$

\frac{14(q+q^2)}{1+2q^2-q}=12

Srediti izraz:

14q+14q^2=12+24q^2-12q

Rešenja jednačine $5q^2-13q+6=0$ su:

q_1=\frac{3}{5}, q_2=2

Za $q=\frac{3}{5}$

a_1=\frac{25}{2}, a_2=\frac{15}{2}, a_3=\frac{9}{2}, a_4=\frac{3}{2}

Za $q=2$

a_1=2, a_2=4, a_3=8, a_4=12

1. Aritmetički i geometrijski niz