405. Kombinovani nizovi

TEKST ZADATKA

Tri broja čiji je zbir 26 obrazuju geometrijski niz. Uveća li se srednji za 4, dobija se aritmetički niz. Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a_1+a_2+a_3=26

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a_1(1+q+q^2)=26

Primeniti pravilo aritmetičkog niza $b_2=\frac{b_1+b_3}{2}$

a_2+4=\frac{a_1+a_3}{2}

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

2(a_1q+4)=a_1+a_1q^2

Srediti izraz:

2a_1q+8-a_1-a_1q^2=0

a_1(q^2-2q+1)=8 \rArr a_1=\frac{8}{q^2-2q+1}

Zameniti dobijeni izraz $a_1$ u početni izraz za zbir:

\frac{8}{q^2-2q+1}(1+q+q^2)=26

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina $3q^2-10q+3=0$ sa rešenjima $a_1=3$ i $q_2=\frac{1}{3}$

Ako je $q=3$ onda je $a_1=2, a_2=6$ i $a_3=18.$

Ako je $q=\frac{1}{3}$ onda je $a_1=18, a_2=6$ i $a_3=2.$

12. Aritmetički i geometrijski niz