Geometrijski u aritmetički niz: zbir 26, srednji + 4

TEKST ZADATKA

Tri broja čiji je zbir 26 obrazuju geometrijski niz. Uveća li se srednji za 4, dobija se aritmetički niz. Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a_1+a_2+a_3=26

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a_1(1+q+q^2)=26

Primeniti pravilo aritmetičkog niza $b_2=\frac{b_1+b_3}{2}$

a_2+4=\frac{a_1+a_3}{2}

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

2(a_1q+4)=a_1+a_1q^2

Srediti izraz:

2a_1q+8-a_1-a_1q^2=0

a_1(q^2-2q+1)=8 \rArr a_1=\frac{8}{q^2-2q+1}

Zameniti dobijeni izraz $a_1$ u početni izraz za zbir:

\frac{8}{q^2-2q+1}(1+q+q^2)=26

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina $3q^2-10q+3=0$ sa rešenjima $a_1=3$ i $q_2=\frac{1}{3}$

Ako je $q=3$ onda je $a_1=2, a_2=6$ i $a_3=18.$

Ako je $q=\frac{1}{3}$ onda je $a_1=18, a_2=6$ i $a_3=2.$

12. Aritmetički i geometrijski niz