Geometrijski niz: zbir 21 i zbir recipročnih 7/12

TEKST ZADATKA

Zbir prva tri broja koji obrazuju rastući geometrijski niz je 21, a zbir njihovih recipročnih vrednosti je $\frac{7}{12}.$ Naći te brojeve.

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a_1+a_2+a_3=21

\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}=\frac{7}{12}

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a_1(1+q+q^2)=21

\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1q}+ \frac{1}{a_1q^2}=\frac{7}{12} \rArr \frac{q^2+q+1}{a_1q^2}=\frac{7}{12}

Podeliti dobijene izraze:

\frac{a_1\cancel{(1+q+q^2)}}{\frac{\cancel{q^2+q+1}}{a_1q^2}}=36

a_1^2q^2=36 \rArr a_1q=\pm6

Ako je $a_1q=6$ onda je $a_1=\frac{6}{q}$

Ubacivanjem izraza za $a_1$ u početni izraz $a_1(1+q+q^2)=21$ dobije se kvadratna jednačina $2q^2-5q+2=0$ sa rešenjima $q_1=2$ i $q_2=1.$ Rešenje $q_2=1$ se ne uzima jer bi niz onda bio stacionirani.

Ako je $a_1q=-6$ onda je $a_1=-\frac{6}{q}$

Ubacivanjem izraza za $a_1$ u početni izraz $a_1(1+q+q^2)=21$ dobije se kvadratna jednačina $2q^2+9q+2=0.$ Uvrštavanjem vrednosti u formulu za izračunavanje rešenja kvadratne jednačine pod korenom se dobije broj 65 te se to rešenje odbacuje jer ne pripada skupu realnih brojeva.

Započni učenje

Online časovi

22. Geometrijski niz

Beleške