404. Geometrijski niz | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Zbir prva tri broja koji obrazuju rastući geometrijski niz je 21, a zbir njihovih recipročnih vrednosti je $\frac{7}{12}.$ Naći te brojeve.

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a_1+a_2+a_3=21

\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}=\frac{7}{12}

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a_1(1+q+q^2)=21

\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1q}+ \frac{1}{a_1q^2}=\frac{7}{12} \rArr \frac{q^2+q+1}{a_1q^2}=\frac{7}{12}

Podeliti dobijene izraze:

\frac{a_1\cancel{(1+q+q^2)}}{\frac{\cancel{q^2+q+1}}{a_1q^2}}=36

a_1^2q^2=36 \rArr a_1q=\pm6

Ako je $a_1q=6$ onda je $a_1=\frac{6}{q}$

Ubacivanjem izraza za $a_1$ u početni izraz $a_1(1+q+q^2)=21$ dobije se kvadratna jednačina $2q^2-5q+2=0$ sa rešenjima $q_1=2$ i $q_2=1.$ Rešenje $q_2=1$ se ne uzima jer bi niz onda bio stacionirani.

Ako je $a_1q=-6$ onda je $a_1=-\frac{6}{q}$

Ubacivanjem izraza za $a_1$ u početni izraz $a_1(1+q+q^2)=21$ dobije se kvadratna jednačina $2q^2+9q+2=0.$ Uvrštavanjem vrednosti u formulu za izračunavanje rešenja kvadratne jednačine pod korenom se dobije broj 65 te se to rešenje odbacuje jer ne pripada skupu realnih brojeva.

22. Geometrijski niz