Aritmetički niz: zbir 27 i zbir kvadrata 275

TEKST ZADATKA

Kod rastućeg aritmetičkog niza zbir prva tri člana je 27, a zbir njegovih kvadrata je 275. Odrediti $a_1$ i $d.$

REŠENJE ZADATKA

Postaviti jednačine:

a_1+a_2+a_3=27

a_1^2+a_2^2+a_3^2=275

Primeniti formulu za opšti član $a_k=a_1+(k-1)d$ u jednčinama:

a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=27

3a_1+3d=27

Izraziti diferenciju $d:$

a_1+d=9 \rArr d=9-a_1

a_1^2+(a_1+d)^2+(a_1+2d)^2=275

Zameniti $d$ u jednačini:

a_1^2+(\cancel{a_1}+9-\cancel{a_1})^2+(a_1+2(9-a_1))^2=275

Srediti jednačinu:

a_1^2+81+(a_1+18-2a_1)^2=275

a_1^2+81+(18-a_1)^2=275

a_1^2+81+324-36a_1+a_1^2=275

2a_1^2-36a_1+130=0

a_1^2-18a_1+65=0

Rešenje jednačine je:

a_1=5 \rArr d=4

5. Aritmetički niz