Geometrijski i aritmetički niz: tri broja sa zbirom 28

TEKST ZADATKA

Tri broja čiji je zbir 28 obrazuju geometrijski niz. Ako prvom dodamo 3, a drugom 1, a od trećeg oduzmemo 5 dobija se aritmetička progresija. Odrediti te brojeve.

REŠENJE ZADATKA

Početne brojeve označiti sa $b_1,b_2,b_3:$

b_1+b_2+b_3=28

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza $a_k=a_1\cdot q^{k-1}:$

b_1+b_1q+b_1q^2=28 \rArr b_1=\frac{28}{1+q+q^2}

Novonastale brojeve označiti sa $a_1,a_2,a_3:$

a_1=b_1+3

a_2=b_2+1

a_3=b_3-5

Pošto $a_1,a_2,a_3$ obrazuju aritmetički niz, važi pravilo $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$

b_2+1=\frac{b_1+3+b_3-5}{2}

Srediti izraz:

b_1+b_3-2=2b_2+2

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza $a_k=a_1\cdot q^{k-1}:$

b_1+b_1q^2-2=2b_1q+2

b_1(1+q^2-2q)=4\rArr b_1=\frac{4}{1-2q+q^2}

Izjednačiti izraze za $b_1:$

\frac{4}{1-2q+q^2}=\frac{28}{1+q+q^2}

Srediti izraz:

28(1-2q+q^2)=4(1+q+q^2)

7-14q+7q^2=1+q+q^2

Rešenja ove jednačine $6q^2-15q+6=0$ su:

q_1=\frac{1}{2}, q_2=2

Za $q=\frac{1}{2}:$

b_1=16, b_2=8, b_3=4

Za $q=2$

b_1=4, b_2=8, b_3=16

Započni učenje

Online časovi

7. Aritmetički niz

Beleške