323.

6. Geometrijski niz

TEKST ZADATKA

Posmatramo geometrijski niz sa parnim brojem članova. Ako je zbir svih članova progresije pet puta veći od zbira članova sa neparnim indeksima. Odrediti q.

REŠENJE ZADATKA

Navesti podatke:

Sn=5⋅Sn2S_n=5\cdot S_\frac{n}{2}

Primeniti formulu za zbir geometrijskog niza Sn=a1⋅1−qn1−qS_n=a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}

Količnih niza sa neparnim članovima jednak je kvadratu količnika početnog niza q.

a1⋅1−qn1−q=5a1⋅1−q2⋅n21−q2a_1 \cdot\frac{1-q^n}{1-q}=5a_1\cdot \frac{1-q^{2\cdot\frac{n}{2}}}{1-q^2}

Srediti izraz:

(1−qn)(1−q2)=5(1−qn)(1−q)\cancel{(1-q^n)}(1-q^2)=5\cancel{(1-q^n)}(1-q)
(1−q)(1+q)=5(1−q)\cancel{(1-q)}(1+q)=5\cancel{(1-q)}
1+q=5⇒q=41+q=5 \rArr q=4