Beskonačni geometrijski niz: zbir 32, koji član je 1

TEKST ZADATKA

Zbir svih članova geom. niza je 32. Razlika prvog i drugog je 8. Koji član niza je jednak 1?

REŠENJE ZADATKA

Napisati postavku zadatka:

S=32

a_1-a_2=8 \rArr a_1(1-q)=8

Pošto je u pitanju beskonačni niz $q$ mora da zadovolji uslov $-1<q<1,$ a onda je i formula za geometrijski niz $S=\frac{a_1}{1-q}$

S=\frac{a_1}{\frac{8}{a_1}}

Uvrstiti vrednost za S:

32=\frac{a_1^2}{8} \rArr a_1=\sqrt{32\cdot 8}=\pm16

Ako je $a_1=16$ onda je q:

16(1-q)=8

Srediti izraz:

2-2q=1\rArr q=\frac{1}{2}

Primeniti formjulu za opštu član geometrijskog niza:

1=16(\frac{1}{2})^{k-1} \rArr \frac{1}{16}=(\frac{1}{2})^{k-1}

Dobija se:

k-1=4 \rArr k=5

Ako je $a_1=-16$ onda je q:

-16(1-q)=8 \rArr 1-q=-\frac{1}{2}\rArr q=\frac{3}{2}

Rešenje ne uzeti u obzirom zbog uslova, $q<1$

7. Geometrijski niz