Geometrijski niz: zbir prvih šest članova

TEKST ZADATKA

Razlika između četvrtog i prvog člana geometrijskog niza je 52, a zbir prva tri je 26. Odrediti zbir prvih šest članova.

REŠENJE ZADATKA

Postaviti jednačine:

a_4-a_1=52

a_1+a_2+a_3=26

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza $a_k=a_1\cdot q^{k-1}:$

a_1\cdot q^3-a_1=52

a_1+a_1 \cdot q+a_1\cdot q^2=26

Podeliti jednačine i srediti izraz:

\frac{\cancel{a_1}(q^3-1)}{\cancel{a_1}(1+q+q^2)}=\frac{52}{26}

Primeniti formulu za razliku kubova $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2):$

\frac{(q-1)\cancel{(q^2+q+1)}}{\cancel{(q^2+q+1)}}=2

q-1=2 \rArr q=3, a_1=2

Primeniti formulu za zbir geometrijskog niza $S_n=a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

S_6=2\cdot \frac{1-3^6}{1-3}= 728

1. Geometrijski niz