Geometrijski niz: a1 − a5 = 15 i a1 + a3 = 20

TEKST ZADATKA

Svi članovi geometrijskog niza su pozitivni. Ako je razlika prvog i petog člana jednaka 15, azbir prvog i trećeg člana jednak 20, naći zbir prvih pet članova.

REŠENJE ZADATKA

Napisati postavku zadatka:

a_1-a_5=15

a_1+a_3=20

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a_1(1-q^4)=15

a_1(1-q^2)=20

Primenom formulu za razliku kvadrata dobija se izraz $a_1(1-q^2)(1+q^2)=15$ u koji se može uvrstiti poznata vrednost:

20(1-q^2)=15 \rArr q^2=\frac{1}{4}

Korenovanjem se dobijaju dva rešenja $q_1=\frac{1}{2}$ i $q_2=-\frac{1}{2}$ ali se zbog uslova da su svi brojevi pozitivni uzima samo pozitivna vrednost.

Kako je $q=\frac{1}{2}$ onda je $a_1=16$

Uvrstiti dobijene vrednosti u formulu za zbir geometrijskog niza $S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$

S_5=31

Započni učenje

Online časovi

18. Geometrijski niz

Beleške