402.

20. Geometrijski niz

TEKST ZADATKA

Četiri pozitivna broja obrazuju geometrijski niz. Ako je prvi veći od drugog za 36, atreći od četvrtog za 4, naći te brojeve.

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a1=a2+36a_1=a_2+36
a3=a4+4a_3=a_4+4

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a1(1−q)=36⇒a1=361−qa_1(1-q)=36 \rArr a_1=\frac{36}{1-q}
a1q2(1−q)=4a_1q^2(1-q)=4

Uvrstiti dobijeni izraz za a1:a_1:

361−q⋅q2(1−q)=4\frac{36}{\cancel{1-q}}\cdot q^2\cancel{(1-q)}=4

Sređivanjem se dobija kvadratna jednačina 36q2=436q^2=4sa rešenjima q1=13q_1=\frac{1}{3}i q2=−13q_2=-\frac{1}{3}ali se uzima samo vrednost za q1q_1zbog uslova zadatka da su svi članovi niza pozitivni brojevi.

Ako je q=13q=\frac{1}{3}onda je a1=54,a2=18,a3=6a_1=54, a_2=18, a_3=6ia4=2.a_4=2.