Geometrijski niz: zbir prvog i poslednjeg 33/4

TEKST ZADATKA

Zbir prvog i poslednjeg člana rastućeg geometrijskog niza je $\frac{33}{4}$ a proizvod je dva pretposlednja je 2.

REŠENJE ZADATKA

Navesti podatke:

a_1+a_n=\frac{33}{4}

a_2 \cdot a_{n-1}=2

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza $a_k=a_1\cdot q^{k-1}:$

a_1+a_1 \cdot q^{n-1}=\frac{33}{4} \rArr a_1(1+q^{n-1})=\frac{33}{4}

a_1q\cdot a_1q^{n-2}=2 \rArr a_1^2\cdot q^{n-1}=2

Rešiti sistem jednačina:

4a_1(1+q^{n-1})=33

a_1^2(q^{n-1})=2 \rArr q^{n-1}=\frac{2}{a_1^2}

Uvrstiti $q$ i srediti izraz:

4a_1(1+\frac{2}{a_1^2})=33

4a_1+\frac{8}{a_1}=33

4a_1^2-33a_1+8=0

Rešenje ove jednačine je:

a_1=\frac{1}{4}\rArr q=2

5. Geometrijski niz