Aritmetički i geometrijski niz: zbirovi 20 i 6

TEKST ZADATKA

Data su 4 broja od kojih prva tri čine aritmetičku progresiju, a poslednja tri opadajuću geometrijsku progresiju. Odrediti ove brojeve ako se zna da je zbir prva dva 20, a poslednja dva 6.

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za opšti član aritmetičkog niza:

a_1, a_2=a_1+d, a_3=a_1+2d

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a_2,a_3= a_2q, a_4=a_2q^2

Zameniti izraze u zbiru $a_1+a_2=20:$

2a_1+d=20 \rArr a_1=\frac{20-d}{2}

Za $a_3$ postoje dva izraza:

a_1+2d=a_2q \rArr a_1+2d=(a_1+d)q\rArr q=\frac{a_1+2d}{a_1+d}

Zameniti izraz za $a_1:$

q=\frac{\frac{20-d}{2}+2d}{\frac{20-d}{2}+d}=\frac{20+3d}{20+d}

Primeniti formule za opšti član u drugom navedenom zbiru $a_3+a_4=6:$

a_2q+a_2q^2=6

(\frac{20-d}{2}+d)\cdot \frac{20+3d}{20+d}+(\frac{20-d}{2}+d) \cdot(\frac{20+3d}{20+d})^2=6

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina $3d^2+47d+140=0$ sa rešenjima $d_1=-4$ i $d_2=-\frac{35}{3}$

Uzima se samo jedno rešenje $d=-4$ jer je drugo neodređeno.

Vraćanjem vrednosti za d u izraz za q dobija se da je $q=\frac{1}{2}$ pa su traženi brojevi:

a_1=12, a_2=8, a_3=4, a_4=2

Započni učenje

Online časovi

8. Aritmetički i geometrijski niz

Beleške