Aritmetički i geometrijski niz: drugom oduzmi 2

TEKST ZADATKA

Tri broja čine aritmetičku progresiju. Ako se drugom oduzme dva dobja se geometrijska progresija čiji je zbir 28. Odrediti zadate brojeve.

REŠENJE ZADATKA

Navesti podatke aritmetičkog niza:

a_1, a_2, a_3

Navesti podatke geometrijskog niza:

b_1+b_2+b_3=28

a_1+(a_2-2)+a_3=28

Primeniti formulu za opšti član:

a_1+a_1+d-2+a_1+2d=28

a_1+d=10 \rArr a_1=10-d

Primeniti pravilo za geometrijski niz:

\frac{a_3}{a_2-2}=\frac{a_2-2}{a_1}

Srediti izraz:

a_1a_3=(a_2-2)^2

a_1a_3=a_2^2-4a_2+4

Primeniti formulu za opšti član:

a_1(a_1+2d)=(a_1+d)^2-4(a_1+d)+4

Sređivanjem izraza se dobija:

d^2-4a_1-4d+4=0

Zameniti $a_1:$

d^2-40+\cancel{4d}-\cancel{4d}+4=0

Rešenja kvadratne jednačine su $d_1=6$ i $d_2=-6$

Ako je $d_1=6$ onda je $a_1=4$ i $a_2=10$ i $a_3=16$

Ako je $d_2=-6$ onda je $a_1=16$ i $a_2=10$ i $a_3=4$

4. Aritmetički i geometrijski niz