384.

Kombinovani nizovi

TEKST ZADATKA

Prvi, treći i sedmi član aritmetičkog niza čine prva tri člana geometrijskog niza. Naći q. Koje mesto u aritmetičkom nizu zauzima 4. član geometrijskog niza?

REŠENJE ZADATKA

Geometrijski niz: a1,a3,a7a_1, a_3, a_7

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a1,a1q2,a1q3a_1, a_1q^2, a_1q^3

Primeniti formulu za opšti član aritimetičkog niza:

a1,a1+2d,a1+6da_1, a_1+2d, a_1+6d

Primeniti formulu za geometrijski niz: a22=a1a3a_2^2=a_1a_3

(a1+2d)2=a1(a1+6d)(a_1+2d)^2=a_1(a_1+6d)

Srediti izraz:

a12+2a1d+4d2=a12+6a1d⇒2d=a1\cancel{a_1^2}+2a_1d+4d^2=\cancel{a_1^2}+6a_1d \rArr 2d=a_1

Uvrstiti izraz za a1a_1

a1=2d,a3=4d,a7=8da_1=2d, a_3=4d, a_7=8d

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza q=a3a2=a1q2aqq=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_1q^2}{a_q}

q=8d4d=2q=\frac{8d}{4d}=2

Primeniti formulu za opšti član gometrijskkog niza:

bk=2d⋅2k−1b_k=2d \cdot2^{k-1}

Srediti izraz:

b4=2d⋅23=16d=akb_4=2d \cdot 2^3=16d= a_k

Primeniti formulu za opšti član aritmetičkog niza:

ak=2d+(k−1)da_k=2d+(k-1)d

Srediti izraz:

ak=2d+kd−da_k=2d+kd-d
ak=d+kda_k=d+kd

Uvrstiti izraz za aka_k

d+kd=16d⇒kd=15d⇒k=15d+kd=16d \rArr kd=15d \rArr k=15

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti