384. Kombinovani nizovi

TEKST ZADATKA

Prvi, treći i sedmi član aritmetičkog niza čine prva tri člana geometrijskog niza. Naći q. Koje mesto u aritmetičkom nizu zauzima 4. član geometrijskog niza?

REŠENJE ZADATKA

Geometrijski niz: $a_1, a_3, a_7$

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a_1, a_1q^2, a_1q^3

Primeniti formulu za opšti član aritimetičkog niza:

a_1, a_1+2d, a_1+6d

Primeniti formulu za geometrijski niz: $a_2^2=a_1a_3$

(a_1+2d)^2=a_1(a_1+6d)

Srediti izraz:

\cancel{a_1^2}+2a_1d+4d^2=\cancel{a_1^2}+6a_1d \rArr 2d=a_1

Uvrstiti izraz za $a_1$

a_1=2d, a_3=4d, a_7=8d

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza $q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_1q^2}{a_q}$

q=\frac{8d}{4d}=2

Primeniti formulu za opšti član gometrijskkog niza:

b_k=2d \cdot2^{k-1}

Srediti izraz:

b_4=2d \cdot 2^3=16d= a_k

Primeniti formulu za opšti član aritmetičkog niza:

a_k=2d+(k-1)d

Srediti izraz:

a_k=2d+kd-d

a_k=d+kd

Uvrstiti izraz za $a_k$

d+kd=16d \rArr kd=15d \rArr k=15

6. Aritmetički i geometrijski niz