383.

Kombinovani nizovi

TEKST ZADATKA

Tri broja čiji je zbir 63 obrazuju aritmetičku progresiju. Ako od prvog oduzmemo 7, a od drugog 9, a od trećeg 5 dobijamo geometrijsku progresiju. Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a1+a2+a3=63a_1+a_2+a_3=63
b1=a1−7,b2=a2−9,b3=a3−5b_1=a_1-7, b_2=a_2-9, b_3=a_3-5

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a1+a1+d+a1+2d=63a_1+a_1+d+a_1+2d=63
3a1+3d=63⇒a1=21−d3a_1+3d=63 \rArr a_1=21-d

Primeniti formulu za geometrijski niz b22=b1b3b_2^2=b_1b_3

(a2−9)2=(a1−7)(a3−5)(a_2-9)^2=(a_1-7)(a_3-5)

Primeniti formulu za opšti član aritmetičkog niza:

(a1+d−9)2=(a1−7)(a1+2d−5)(a_1+d-9)^2=(a_1-7)(a_1+2d-5)

Zameniti a1a_1u izrazu:

(21−d+d−9)2=(21−d−7)(21−d+2d−5)(21-\cancel{d}+\cancel{d}-9)^2=(21-d-7)(21-d+2d-5)

Srediti izraz:

122=(14−d)(16+d)12^2=(14-d)(16+d)
144=224+14d−16d−d2144=224+14d-16d-d^2

Dobije se kvadratna jednačina:

d2+2d−80=0d^2+2d-80=0

Rešenja kvadratne jednačine su d1=−10d_1=-10i d2=8d_2=8

Za rešenje se uzima samo d1=10d_1=10jer je u pitanju opadajući geometrijski niz, onda je:

a1=31,a2=21,a3=11a_1=31, a_2=21, a_3=11

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti