Arkus sinus: arcsin(cos 33π/5)

Prvo ćemo uprostiti ugao unutar kosinusa izdvajanjem celih perioda funkcije kosinus ( $2\pi$ ).

\frac{33\pi}{5} = \frac{30\pi + 3\pi}{5} = 6\pi + \frac{3\pi}{5}

Kako je funkcija kosinus periodična sa osnovnim periodom $2\pi ,$ važi $\cos(x + 2k\pi) = \cos x .$

\cos\left(\frac{33\pi}{5}\right) = \cos\left(6\pi + \frac{3\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)

Da bismo iskoristili svojstvo inverznih funkcija $\arcsin(\sin x) = x ,$ pretvorićemo kosinus u sinus koristeći vezu $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) .$

\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right)

Računamo razliku u argumentu sinusa svodeći razlomke na zajednički imenilac.

\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5} = \frac{5\pi - 6\pi}{10} = -\frac{\pi}{10}

Sada početni izraz možemo zapisati preko sinusa.

\arcsin\left(\cos\frac{33\pi}{5}\right) = \arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)\right)

Pošto vrednost $-\frac{\pi}{10}$ pripada intervalu $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] ,$ možemo primeniti pravilo $\arcsin(\sin x) = x .$

\arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)\right) = -\frac{\pi}{10}

Započni učenje

Online časovi

873.b

Beleške