4.g

Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.

REŠENJE ZADATKA

Svaki sabirak u brojiocu možemo zapisati kao razliku dva faktorijela, jer je $(k+1)!=(k+1)\cdot k! :$

k\cdot k!=(k+1)\cdot k!-k!=(k+1)!-k!

Primenimo to na svaki sabirak. Susedni faktorijeli se potiru, pa ostaju samo $-1!$ i $(n+1)! :$

1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+n\cdot n!=(2!-1!)+(3!-2!)+\cdots+\big((n+1)!-n!\big)=(n+1)!-1

Uvrštavamo dobijeni zbir u razlomak:

\frac{1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+n\cdot n!}{(n+1)!}=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!}=1-\frac1{(n+1)!}

Pošto $(n+1)!$ raste neograničeno, $\frac1{(n+1)!}\to0 :$

\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{(n+1)!}\right)=1-0=1

Granična vrednost je $1 .$

Slični zadaci

Provežbaj isti tip zadatka.

Granična vrednost niza osnove

Granična vrednost niza osnove

Granična vrednost niza osnove

Granična vrednost niza osnove

Granična vrednost niza osnove