Prethodni zadatak Sledeći zadatak

Prethodni Sledeći

8.a

Postavi pitanje

Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.

REŠENJE ZADATKA

Svaki činilac rastavljamo pomoću razlike kvadrata:

1-\frac1{k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\frac{k-1}k\cdot\frac{k+1}k

Za $k=2,3,\ldots,n$ proizvod se raspada na dva dela. U svakom od njih brojilac jednog razlomka skraćuje se sa imeniocem susednog:

\left(\frac12\cdot\frac23\cdot\frac34\cdots\frac{n-1}n\right)\cdot\left(\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54\cdots\frac{n+1}n\right)=\frac1n\cdot\frac{n+1}2

Proizvod je, dakle, jednak $\frac{n+1}{2n} ,$ pa je:

\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac12\left(1+\frac1n\right)=\frac12

Granična vrednost je $\frac12 .$

Postavi pitanje