Geometrijski niz: zbir 3/2 jednak zbiru recipročnih

TEKST ZADATKA

Zbir tri uzastopna člana opadajućeg geometrijskog niza je $\frac{3}{2}$ i jednak je zbiru njihovih recipročnih vrednosti. Odrediti te brojeve.

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a_1+a_2+a_3=\frac{3}{2}

\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}= \frac{3}{2}

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a_1(1+q+q^2)=\frac{3}{2}

\frac{q^2+q+1}{a_1q^2}=\frac{3}{2}

Podeliti izraze:

\frac{a_1\cancel{(1+q+q^2)}}{\frac{\cancel{1+q+q^2}}{a_1q^2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}

Srediti:

a_1^2q^2=1 \rArr a_1q=\pm1

Ako je $a_1q=1$ onda je $a_1=\frac{1}{q}$

Uvrstiti u izraz $a_1+a_q+a_1q^2=\frac{3}{2}$

\frac{1}{q}+1+q=\frac{3}{2}

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina $2q^2-q+2=0$ koja nema rešenja u skupu realnih brojeva.

Ako je $a_1q=-1$ onda je $a_1=-\frac{1}{q}$

Uvrstiti u izraz $a_1+a_q+a_1q^2=\frac{3}{2}$

-\frac{1}{q}-1-q=\frac{3}{2}

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina $2q^2+5q+2=0$ sa rešenjima $q_1=-2$ i $q_2=-\frac{1}{2}$

Za rešenje se uzima $q_2=-\frac{1}{2}$ jer je upitanju opadajući niz i onda sun brojevi:

a_1=2, a_2=-1, a_3=\frac{1}{2}

9. Geometrijski niz