Aritmetički niz: dokaz za recipročne logaritme

TEKST ZADATKA

Dokazati da brojevi $\frac{1}{\log_{3}2}, \frac{1}{\log_{6}2}, \frac{1}{\log_{12}2}$ čine arimetičku progresiju.

REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo logaritama $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$ tako da su brojevi:

\log_{2}3,\log_{1}6, \log_{2}12

Logaritam $\log_{2}6$ se može zapisati:

\log_{2}6=\log_{2}3\cdot 2=\log_{2}3+\log_{2}2=\log_{2}3+1

Logaritam $\log_{2}12$ se može zapisati:

\log_{2}12=\log_{2}3\cdot 4=\log_{2}3+\log_{2}2^2=\log_{2}3+2\log_{2}2=\log_{2}3+2

Ako je $\log_{2}3=a_1$ i $d=1$ onda je

\log_{2}6=a_1+d=\log_{2}3+1

\log_{2}12=a_1+2d=\log_{2}3+2

14. Aritmetički niz