Aritmetički niz: ln 2, ln(2 na x − 1), ln(2 na x + 3)

TEKST ZADATKA

Odrediti x tako da brojevi $a_1=\ln{2}, a_2=\ln{(2^x-1)}, a_3=\ln{(2^x+3)}$ ćine aritmetičku progresiju.

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu koja važi za aritmetički niz $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$

\ln{(2^x-1)}=\frac{\ln{2}+\ln{(2^x+3)}}{2}

Srediti izraz:

2\cdot \ln{(2^x-1)}=\ln{(2^{x+1}+6)}

\ln{(2^x-1)^2}=\ln{(2^{x+1}+6)}

Primeniti pravilo za logaritme:

(2^x-1)^2=2^{x+1}+6

Primeniti formulu za kvadrat binoma:

2^{2x}-2\cdot 2^x+1=2^{x+1}+6

2^{2x}-4\cdot 2^x-5=0

Uvodi se smena $t=2^x$

t^2-4t-5=0

Rešenja jednačine za $t$ su $t_1=-1$ i $t_2=5$

$t_1=-1$ se ne uzima kao rešenje

Zameniti vrednost za $t=5:$

2^x=5 \rArr x=\log_{2}{5}

16. Aritmetički niz