$\big|\frac{z+3}{1-\overline{z}}\big|=1$

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve $z$ za koje važi:

\bigg|\frac{z+3}{1-\overline{z}}\bigg|=1

REŠENJE ZADATKA

Modul kompleksnog broja $z=x+iy$ je jednak:

|z+3|=|(x+3)+iy|=\sqrt{(x+3)^2+y^2} \\ |1-\overline{z}|=|1-(x-iy)|=|(1-x)+iy|=\sqrt{(1-x)^2+y^2}

Izraziti sve preko $x$ i $y.$

\sqrt{(x+3)^2+y^2}=\sqrt{(1-x)^2+y^2} \\ x^2+6x+9+y^2=1-2x+x^2+y^2 \\ 8x=-8 \\ x=-1

Uvrstiti $x$ i $y$ u izraz $z=x+iy.$

z=-1+iy

Beleške