Kompleksan broj za koji je Im z = |z - i| i Re z = Im z

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve $z$ za koje važi:

\text{Im}\ z=|z-i|, \ \text{Re}\ z=\text{Im}z

REŠENJE ZADATKA

Modul kompleksnog broja $z=x+iy$ je jednak:

|z-i|=|x+(y-1)i|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}

Iz $\text{Im}\ z=|z-i|$ sledi:

\sqrt{x^2+(y-1)^2}=y \\ x^2+(y-1)^2=y^2 \\ x^2+y^2-2y+1=y^2 \\ x^2-2y+1=0 \quad (1)

Iz $\text{Re}\ z=\text{Im} \ z$ sledi:

x=y \quad (2)

Uvrstiti $x=y$ u prvu jednačinu.

y^2-2y+1=0 \\ (y-1)^2=0 \\ y=1

Iz $(2)$ sledi:

x=y=1

Uvrstiti $x$ i $y$ u izraz $z=x+iy.$

z=1+i

$\text{Im}\ z=|z-i|, \ \text{Re}\ z=\text{Im}\ z$