Kompleksna jednačina sa modulom konjugovanog broja

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve $z$ za koje važi:

z^2+|\overline{z}|=0

REŠENJE ZADATKA

Modul konjugovanog kompleksnog broja $z=x+iy$ je jednak:

|\overline{z}|=|x-iy|=\sqrt{x^2+y^2}

Izraziti sve preko $x$ i $y.$

(x+iy)^2+\sqrt{x^2+y^2}=0 \\ x^2+2xyi-y^2+\sqrt{x^2+y^2}=0

Da bi broj bio jednak nuli, i realni i imaginarni deo moraju biti nula. Dobija se sistem jednačina:

x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}=0 \quad (1)\\ 2xy=0 \quad (2)

Iz druge jednačine dobijaju se rešenja:

2xy=0 \implies x=0 \quad \text{ili} \quad y=0

Prvi slučaj: $x=0$

Uvrstiti $x=0$ u prvu jednačinu.

-y^2+\sqrt{y^2}=0 \\ -y^2+|y|=0

Posmatrati slučajeve:

Ako je $y\ge0:$

-y^2+y=0 \\ y(1-y)=0 \\ y=0 \quad \lor \quad y=1

Ako je $y<0:$

-y^2-y=0 \\ y(y+1)=0 \\ y=0 \quad \lor \quad y=-1

Iz prvog slučaja, kada je $x=0$ rešenja su:

z=0, \quad z=-i, \quad z=i

Drugi slučaj: $y=0$

Uvrstiti $y=0$ u prvu jednačinu.

x^2+\sqrt{x^2}=0 \\ x^2+|x|=0

Pošto je $x^2\ge0$ i $|x|\ge0,$ njihov zbir može biti jednaka nuli samo ako je $x^2=0$ i $|x|=0,$ a to se dešava samo kada je:

x=0

Za $x=0$ i $y=0$ dobija se rešenje $z=0.$

Svi kompleksni brojevi $z$ koji zadovoljavaju datu jednačinu su:

0, \ \ -i, \ \ i

$z^2+|\={z}|=0$