Kompleksna jednačina |z| + z - 4 = (8i + 2)/(1 + i)

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve $z$ za koje važi:

|z|+z-4=\frac{8i+2}{1+i}

REŠENJE ZADATKA

Modul kompleksnog broja $z=x+iy$ je jednak:

|z|=\sqrt{x^2+y^2}

Izraziti sve preko $x$ i $y.$

\sqrt{x^2+y^2}+x+iy-4=\frac{8i+2}{1+i}

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca drugog razlomka, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $1+i,$ što je $1-i.$

\sqrt{x^2+y^2}+x+iy-4=\frac{8i+2}{1+i} \cdot\frac{1-i}{1-i} \\ \sqrt{x^2+y^2}+x+iy-4=\frac{(8i+2)(1-i)}{1-i^2} \\ \sqrt{x^2+y^2}+x+iy-4=\frac{8i-8i^2+2-2i}{1-i^2} \\ \sqrt{x^2+y^2}+x+iy-4=\frac{6i+8+2}{1+1} \\ \sqrt{x^2+y^2}+x+iy-4=\frac{6i+10}2 \\ \sqrt{x^2+y^2}+x+iy-4=3i+5

Izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem:

\sqrt{x^2+y^2}+x-4=5 \quad (1) \\ y=3 \quad (2)

Uvrstiti $y=3$ u prvu jednačinu.

\sqrt{x^2+3^2}+x-4=5 \\ \sqrt{x^2+9}=9-x \\ x^2+9=(9-x)^2 \\ x^2+9=81-18x+x^2 \\ 18x=72 \\ x=4

Uvrstiti $x$ i $y$ u izraz $z=x+iy.$

z=4+3i

$|z|+z-4=\frac{8i+2}{1+i}$