2021. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Zapišimo osnove stepena preko prostih činilaca. Znamo da je $9 = 3^2 ,$ $6 = 2 \cdot 3$ i $4 = 2^2 .$

(3^2)^x + (2 \cdot 3)^x = 2 \cdot (2^2)^x

Primenom osobina stepenovanja $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ i $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n ,$ jednačina postaje:

3^{2x} + 2^x \cdot 3^x = 2 \cdot 2^{2x}

Podelimo celu jednačinu sa $2^{2x} .$ Ovo je dozvoljeno jer je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, pa je $2^{2x} > 0$ za svako realno $x .$

\frac{3^{2x}}{2^{2x}} + \frac{2^x \cdot 3^x}{2^{2x}} = 2

Sredimo izraz koristeći pravilo $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n .$

\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} + \left(\frac{3}{2}\right)^x = 2

Uvedimo smenu $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, mora važiti $t > 0 .$

t^2 + t = 2

Prebacimo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

t^2 + t - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

Nalazimo rešenja za $t .$

t_1 = 1, \quad t_2 = -2

Zbog uslova $t > 0 ,$ odbacujemo rešenje $t_2 = -2 .$ Zadržavamo samo $t_1 = 1 .$

t = 1

Vratimo smenu $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x .$

\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1

Bilo koji broj različit od nule stepenovan nulom daje 1, pa 1 možemo zapisati kao $\left(\frac{3}{2}\right)^0 .$

\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^0

Izjednačavanjem eksponenata dobijamo konačno rešenje.

x = 0

485.a