2024.

485.b

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

64⋅9x−84⋅12x+27⋅16x=064 \cdot 9^x - 84 \cdot 12^x + 27 \cdot 16^x = 0
REŠENJE ZADATKA

Zapišimo osnove stepena kao stepene brojeva 3 3 i 4: 4 :

64⋅(32)x−84⋅(3⋅4)x+27⋅(42)x=064 \cdot (3^2)^x - 84 \cdot (3 \cdot 4)^x + 27 \cdot (4^2)^x = 0

Primenom pravila za stepenovanje, jednačina postaje:

64⋅32x−84⋅3x⋅4x+27⋅42x=064 \cdot 3^{2x} - 84 \cdot 3^x \cdot 4^x + 27 \cdot 4^{2x} = 0

Ovo je homogena eksponencijalna jednačina. Podelimo celu jednačinu sa 42x 4^{2x} (što je uvek veće od nule):

64⋅32x42x−84⋅3x⋅4x42x+27⋅42x42x=064 \cdot \frac{3^{2x}}{4^{2x}} - 84 \cdot \frac{3^x \cdot 4^x}{4^{2x}} + 27 \cdot \frac{4^{2x}}{4^{2x}} = 0

Sređivanjem izraza dobijamo:

64⋅(34)2x−84⋅(34)x+27=064 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 84 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 27 = 0

Uvodimo smenu t=(34)x, t = \left(\frac{3}{4}\right)^x , pri čemu je t>0: t > 0 :

64t2−84t+27=064t^2 - 84t + 27 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t1,2=84±(−84)2−4⋅64⋅272⋅64t_{1,2} = \frac{84 \pm \sqrt{(-84)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 27}}{2 \cdot 64}

Računamo vrednost pod korenom:

t1,2=84±7056−6912128=84±144128=84±12128t_{1,2} = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 6912}}{128} = \frac{84 \pm \sqrt{144}}{128} = \frac{84 \pm 12}{128}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=84+12128=96128=34,t2=84−12128=72128=916t_1 = \frac{84 + 12}{128} = \frac{96}{128} = \frac{3}{4}, \quad t_2 = \frac{84 - 12}{128} = \frac{72}{128} = \frac{9}{16}

Oba rešenja su pozitivna, pa se vraćamo na smenu za prvo rešenje t1: t_1 :

(34)x=34  ⟹  x1=1\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4} \implies x_1 = 1

Vraćamo se na smenu za drugo rešenje t2: t_2 :

(34)x=916  ⟹  (34)x=(34)2  ⟹  x2=2\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{9}{16} \implies \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \implies x_2 = 2

Konačna rešenja jednačine su:

x∈{1,2}x \in \{1, 2\}