2024. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Zapišimo osnove stepena kao stepene brojeva $3$ i $4 :$

64 \cdot (3^2)^x - 84 \cdot (3 \cdot 4)^x + 27 \cdot (4^2)^x = 0

Primenom pravila za stepenovanje, jednačina postaje:

64 \cdot 3^{2x} - 84 \cdot 3^x \cdot 4^x + 27 \cdot 4^{2x} = 0

Ovo je homogena eksponencijalna jednačina. Podelimo celu jednačinu sa $4^{2x}$ (što je uvek veće od nule):

64 \cdot \frac{3^{2x}}{4^{2x}} - 84 \cdot \frac{3^x \cdot 4^x}{4^{2x}} + 27 \cdot \frac{4^{2x}}{4^{2x}} = 0

Sređivanjem izraza dobijamo:

64 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 84 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 27 = 0

Uvodimo smenu $t = \left(\frac{3}{4}\right)^x ,$ pri čemu je $t > 0 :$

64t^2 - 84t + 27 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t_{1,2} = \frac{84 \pm \sqrt{(-84)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 27}}{2 \cdot 64}

Računamo vrednost pod korenom:

t_{1,2} = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 6912}}{128} = \frac{84 \pm \sqrt{144}}{128} = \frac{84 \pm 12}{128}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = \frac{84 + 12}{128} = \frac{96}{128} = \frac{3}{4}, \quad t_2 = \frac{84 - 12}{128} = \frac{72}{128} = \frac{9}{16}

Oba rešenja su pozitivna, pa se vraćamo na smenu za prvo rešenje $t_1 :$

\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4} \implies x_1 = 1

Vraćamo se na smenu za drugo rešenje $t_2 :$

\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{9}{16} \implies \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \implies x_2 = 2

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{1, 2\}

2024.Eksponencijalne jednačine i nejednačine