Homogena jednačina sa 2 na 2x, 6 na x i 3 na 2x

Primetimo da se jednačina može zapisati u obliku homogene eksponencijalne jednačine. Prvo, primenimo pravila za stepenovanje na izraz $6^x$ i prebacimo sve članove na levu stranu.

4 \cdot 2^{2x} - 2^x \cdot 3^x - 18 \cdot 3^{2x} = 0

Podelimo celu jednačinu sa $3^{2x}$ (što je uvek veće od nule) kako bismo dobili jednačinu po jednoj osnovi.

4 \cdot \frac{2^{2x}}{3^{2x}} - \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} - 18 \cdot \frac{3^{2x}}{3^{2x}} = 0

Pojednostavimo razlomke koristeći pravila za stepenovanje.

4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - \left(\frac{2}{3}\right)^x - 18 = 0

Uvedemo smenu $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x ,$ uz uslov $t > 0 .$

4t^2 - t - 18 = 0

Rešimo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-18)}}{2 \cdot 4}

Računamo vrednost pod korenom.

t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{8} = \frac{1 \pm 17}{8}

Odredimo rešenja za $t .$

t_1 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}, \quad t_2 = \frac{-16}{8} = -2

Zbog uslova $t > 0 ,$ odbacujemo rešenje $t_2 = -2 .$ Zadržavamo samo $t_1 = \frac{9}{4}$ i vratimo smenu.

\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{9}{4}

Zapišimo desnu stranu kao stepen osnove $\frac{2}{3} .$

\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}

Pošto su osnove jednake, izjednačimo izložioce.

x = -2

Započni učenje

Privatni časovi

485.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci