Homogena jednačina sa 2 na 2x + 1, 6 i 9 na x

Transformišemo prvi član koristeći pravila za stepenovanje $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ i $a^{mn} = (a^m)^n .$

2^{2x+1} = 2^1 \cdot 2^{2x} = 2 \cdot (2^2)^x = 2 \cdot 4^x

Zapisujemo jednačinu u novom obliku.

2 \cdot 4^x - 5 \cdot 6^x + 3 \cdot 9^x = 0

Ovo je homogena eksponencijalna jednačina. Delimo celu jednačinu sa $9^x$ (što je dozvoljeno jer je $9^x > 0$ ).

2 \cdot \frac{4^x}{9^x} - 5 \cdot \frac{6^x}{9^x} + 3 \cdot \frac{9^x}{9^x} = 0

Primenjujemo pravilo $\frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x$ i skraćujemo razlomke.

2 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x - 5 \cdot \left(\frac{6}{9}\right)^x + 3 = 0

Sređujemo osnove stepena tako da dobijemo istu osnovu.

2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 3 = 0

Uvodimo smenu $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x ,$ uz uslov $t > 0 .$

2t^2 - 5t + 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}

Računamo rešenja za $t .$

t_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{4}{4} = 1

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = \frac{3}{2} .$

\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{3}{2}

Pošto je $\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} ,$ izjednačavamo izložioce.

\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \implies x_1 = -1

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = 1 .$

\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1

Bilo koji broj različit od nule stepenovan nulom daje 1, pa je $1 = \left(\frac{2}{3}\right)^0 .$

\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^0 \implies x_2 = 0

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{-1, 0\}

486.g