Jednačina sa korenom iz x na 2 − 2 u izložiocu

Određujemo domen jednačine. Izraz pod korenom mora biti nenegativan:

x^2 - 2 \ge 0

Rešavanjem ove nejednačine dobijamo uslov za $x :$

x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty)

Uvodimo smenu $y = x + \sqrt{x^2-2} .$ Jednačina postaje:

4^y - 3 \cdot 2^{y-1} = 10

Zapisujemo $4^y$ kao $(2^y)^2$ i $2^{y-1}$ kao $\frac{2^y}{2} :$

(2^y)^2 - \frac{3}{2} \cdot 2^y - 10 = 0

Uvodimo novu smenu $t = 2^y ,$ pri čemu mora važiti $t > 0 .$ Dobijamo kvadratnu jednačinu:

t^2 - \frac{3}{2}t - 10 = 0

Množimo jednačinu sa 2 kako bismo se oslobodili razlomka:

2t^2 - 3t - 20 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4} = \frac{3 \pm 13}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = 4, \quad t_2 = -\frac{5}{2}

Pošto mora važiti $t > 0 ,$ odbacujemo negativno rešenje. Vraćamo smenu $t = 2^y :$

2^y = 4

Rešavamo eksponencijalnu jednačinu po $y :$

2^y = 2^2 \implies y = 2

Vraćamo prvu smenu $y = x + \sqrt{x^2-2} :$

x + \sqrt{x^2-2} = 2

Izolujemo koren na jednoj strani jednačine:

\sqrt{x^2-2} = 2 - x

Da bi jednačina imala rešenja, desna strana mora biti nenegativna:

2 - x \ge 0 \implies x \le 2

Kvadriramo obe strane jednačine:

x^2 - 2 = (2 - x)^2

Razvijamo kvadrat binoma na desnoj strani:

x^2 - 2 = 4 - 4x + x^2

Skraćujemo $x^2$ sa obe strane i rešavamo linearnu jednačinu po $x :$

4x = 6 \implies x = \frac{3}{2}

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava uslove domena $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty)$ i uslov kvadriranja $x \le 2 .$ Pošto je $\frac{3}{2} = 1.5 ,$ a $\sqrt{2} \approx 1.41 ,$ oba uslova su zadovoljena. Konačno rešenje je:

x = \frac{3}{2}

Započni učenje

Privatni časovi

484.n

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci