Jednačina sa korenom iz x na 2 − 4 u izložiocu

Prvo određujemo domen jednačine. Izraz pod parnim korenom mora biti nenegativan:

x^2 - 4 \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)

Zapisujemo osnovu $\sqrt{2}$ kao stepen broja $2 :$

(\sqrt{2})^{x-2+\sqrt{x^2-4}} = (2^{\frac{1}{2}})^{x-2+\sqrt{x^2-4}} = 2^{\frac{x-2+\sqrt{x^2-4}}{2}}

Razdvajamo izložilac kako bismo izdvojili zajednički deo:

2^{\frac{x-2+\sqrt{x^2-4}}{2}} = 2^{\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}}

Sada polazna jednačina postaje:

2^{x+\sqrt{x^2-4}} - \frac{5}{2} \cdot 2^{\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}} - 6 = 0

Uvodimo smenu $t = 2^{\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}} ,$ pri čemu je $t > 0 .$ Tada je $2^{x+\sqrt{x^2-4}} = t^2 :$

t^2 - \frac{5}{2}t - 6 = 0

Množimo jednačinu sa $2$ i rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

2t^2 - 5t - 12 = 0

Rešenja kvadratne jednačine su:

t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (-12)}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{5 \pm 11}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = 4, \quad t_2 = -\frac{3}{2}

Pošto mora važiti $t > 0 ,$ odbacujemo negativno rešenje. Vraćamo se na smenu sa $t = 4 :$

2^{\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}} = 4

Zapisujemo $4$ kao $2^2$ i izjednačavamo izložioce:

\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2} = 2 \implies x + \sqrt{x^2-4} = 4

Izolujemo koren na jednoj strani:

\sqrt{x^2-4} = 4 - x

Da bi jednačina imala rešenja, desna strana mora biti nenegativna:

4 - x \ge 0 \implies x \le 4

Kvadriramo obe strane jednačine:

x^2 - 4 = (4 - x)^2

Razvijamo kvadrat binoma i rešavamo jednačinu po $x :$

x^2 - 4 = 16 - 8x + x^2

Skraćujemo $x^2$ sa obe strane i računamo $x :$

8x = 20 \implies x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava uslov $x \le 4$ i pripada domenu $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) .$ Pošto je $\frac{5}{2} = 2.5 ,$ oba uslova su ispunjena. Konačno rešenje je:

x = \frac{5}{2}

Započni učenje

Privatni časovi

484.m

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci