1999.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

2x+x2−4−5⋅(2)x−2+x2−4−6=02^{x+\sqrt{x^2-4}} - 5 \cdot (\sqrt{2})^{x-2+\sqrt{x^2-4}} - 6 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Izraz pod parnim korenom mora biti nenegativan:

x2−4≥0  ⟹  x∈(−∞,−2]∪[2,+∞)x^2 - 4 \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)

Zapisujemo osnovu 2 \sqrt{2} kao stepen broja 2: 2 :

(2)x−2+x2−4=(212)x−2+x2−4=2x−2+x2−42(\sqrt{2})^{x-2+\sqrt{x^2-4}} = (2^{\frac{1}{2}})^{x-2+\sqrt{x^2-4}} = 2^{\frac{x-2+\sqrt{x^2-4}}{2}}

Razdvajamo izložilac kako bismo izdvojili zajednički deo:

2x−2+x2−42=2x+x2−42−1=12⋅2x+x2−422^{\frac{x-2+\sqrt{x^2-4}}{2}} = 2^{\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}}

Sada polazna jednačina postaje:

2x+x2−4−52⋅2x+x2−42−6=02^{x+\sqrt{x^2-4}} - \frac{5}{2} \cdot 2^{\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}} - 6 = 0

Uvodimo smenu t=2x+x2−42, t = 2^{\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}} , pri čemu je t>0. t > 0 . Tada je 2x+x2−4=t2: 2^{x+\sqrt{x^2-4}} = t^2 :

t2−52t−6=0t^2 - \frac{5}{2}t - 6 = 0

Množimo jednačinu sa 2 2 i rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

2t2−5t−12=02t^2 - 5t - 12 = 0

Rešenja kvadratne jednačine su:

t1,2=5±25−4⋅2⋅(−12)4=5±1214=5±114t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (-12)}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{5 \pm 11}{4}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=4,t2=−32t_1 = 4, \quad t_2 = -\frac{3}{2}

Pošto mora važiti t>0, t > 0 , odbacujemo negativno rešenje. Vraćamo se na smenu sa t=4: t = 4 :

2x+x2−42=42^{\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}} = 4

Zapisujemo 4 4 kao 22 2^2 i izjednačavamo izložioce:

x+x2−42=2  ⟹  x+x2−4=4\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2} = 2 \implies x + \sqrt{x^2-4} = 4

Izolujemo koren na jednoj strani:

x2−4=4−x\sqrt{x^2-4} = 4 - x

Da bi jednačina imala rešenja, desna strana mora biti nenegativna:

4−x≥0  ⟹  x≤44 - x \ge 0 \implies x \le 4

Kvadriramo obe strane jednačine:

x2−4=(4−x)2x^2 - 4 = (4 - x)^2

Razvijamo kvadrat binoma i rešavamo jednačinu po x: x :

x2−4=16−8x+x2x^2 - 4 = 16 - 8x + x^2

Skraćujemo x2 x^2 sa obe strane i računamo x: x :

8x=20  ⟹  x=208=528x = 20 \implies x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava uslov x≤4 x \le 4 i pripada domenu x∈(−∞,−2]∪[2,+∞). x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) . Pošto je 52=2.5, \frac{5}{2} = 2.5 , oba uslova su ispunjena. Konačno rešenje je:

x=52x = \frac{5}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti