Stepeni imaginarne jedinice: razlomak sa i na 102

TEKST ZADATKA

Izračunati:

\frac{i^{102}+i^{101}}{i^{100}-i^{99}}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu osobinu stepena: $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

\frac{i^{102}+i^{100}\cdot i}{i^{100}-i^{98}\cdot i}

Ako je $n$ deljivo sa $4,$ tada važi za $i^n=1.$

\frac{i^{102}+1\cdot i}{1-i^{98}\cdot i}

Ako je $m$ deljivo sa $2$ ali ne i sa $4,$ tada važi za $i^m=-1.$

\frac{-1+i}{1+1\cdot i} \\ \frac{-1+i}{1+ i}

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $1+i,$ što je $1-i.$

\frac{-1+i}{1+ i}\cdot\frac{1-i}{1-i} \\ \frac{-1+i+i-i^2}{1-i^2} \\ \frac{-1+2i-i^2}{1-i^2}

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

\frac{-1+2i+1}{1+1}\\ \frac{2i}2 \\ i

$\frac{i^{102}+i^{101}}{i^{100}-i^{99}}$